Question

若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点F₁、F₂组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，求直线MF₁的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，进而根据题设的条件组成方程组求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）当直线l的斜率不存在时，AB的中点为F₂，直线MF₁的斜率k=0；当直线l的斜率存在时，设其斜率为m，直线AB的方程可知，与椭圆方程联立消去y，设M（x，y），进而可表示出x和y，当m=0时，AB的中点为坐标原点，直线MF₁的斜率k=0；当m≠0时用x和y表示斜率，进而根据m的范围确定k的范围．综合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
由
所以，椭圆C的方程为
（Ⅱ）、，
当直线l的斜率不存在时，AB的中点为F₂，
直线MF₁的斜率k=0；
当直线l的斜率存在时，设其斜率为m，
直线AB的方程为，
由椭圆方程联立消去y并整理得：
设M（x，y），则
当m=0时，AB的中点为坐标原点，直线MF₁的斜率k=0；
当m≠0时，，

∴且k≠0．
综上所述，直线MF₁的斜率k的取值范围是．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．