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常数e=
lim
n→∞
(1+
1
n
)n=2.718281828459…
,定义函数f(x)=
ex-e-x
2
为双曲正弦函数,记为sinhx,定义函数g(x)=
ex+e-x
2
为双曲余弦函数,记为coshx.则以下三个命题正确的是
(2)
(2)
.(只需填正确命题序号)
(1)cosh(x+y)=coshx•coshy-sinhx•sinhy;
(2)sinh(x+y)=sinhx•coshy+coshx•sinhy;
(3)(sinhx)2-(coshx)2=1.
分析:(1)根据题中的新定义分别表示出cosh(x+y),coshx,coshy,sinhx,sinhy,利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算coshx•coshy-sinhx•sinhy,即可作出判断;
(2)根据题中的新定义分别表示出sinh(x+y),coshx,coshy,sinhx,sinhy,利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算sinhx•coshy+coshx•sinhy,即可作出判断;
(3)根据题中的新定义分别表示出sinhx,coshx,利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算(sinhx)2-(coshx)2,即可作出判断.
解答:解:(1)cosh(x+y)=
ex+y+e-(x+y)
2

coshx•coshy-sinhx•sinhy
=
ex+e-x
2
ey+e-y
2
-
ex-e-x
2
ey-e-y
2

=
ex-y+ey-x
2

∴cosh(x+y)≠coshx•coshy-sinhx•sinhy,
故本选项错误;
(2)sinh(x+y)=
ex+y-e-(x+y)
2

sinhx•coshy+coshx•sinhy
=
ex-e-x
2
ey+e-y
2
+
ex+e-x
2
ey-e-y
2

=
ex+y-e-(x+y)
2

故本选项正确;
(3)(sinhx)2-(coshx)2
=(
ex-e-x
2
2-(
ex+e-x
2
2
=-1≠1,
故本选项错误,
则三个命题正确的是(2).
故答案为:(2)
点评:此题考查了新定义的理解,解答此类题要切实对题中的新定义以正确的理解,这样才能对新定义下的运算熟练运用,注意新定义下对普通运算不一定成立,比如本题(1)对于两角和与差的余弦函数公式不成立,灵活运用题中的新定义是解本题的关键.
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