Question

17．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）化简$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）；
（2）若$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求实数x，y，z的值．

Answer 1

分析 根据平行六面体中的相等向量或相反向量，利用向量的运算法则，进行化简即可．

解答 解：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是上底面A₁B₁C₁D₁的中心；
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$+$\overrightarrow{{{A}_{1}D}_{1}}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{A}_{1}C}_{1}}$
=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}M}$
=$\overrightarrow{AM}$；
（2）∵$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}M}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{B}_{1}D}_{1}}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{B}_{1}A}_{1}}$+$\overrightarrow{{{B}_{1}C}_{1}}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
且$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，z=1．

点评 本题考查了相等向量与相反向量以及向量线性运算法则的应用问题，是基础题目．