Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，求满足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对已知条件令y=0，结合等式的性质变形整理即可得到f（0）的值；
（2）令y=-x，代入已知条件并结合f（0）=0化简整理，即可得到f（-x）=-f（x），得f（x）是定义在R 上的奇函数；
（3）根据f（1）=1进行赋值，可算出f（4）=4．再根据条件将不等式f（2^x-x）+f（x）＞4整理为f（2^x）＞f（4），最后由函数的单调性解关于x的不等式，即可得到满足不等式的实数x的取值范围．

解答：解：（1）取y=0，得f（x）+f（0）=f（x+0）=f（x），
∴f（0）=0；
（2）取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x）
由此可得，f（x）是定义在R 上的奇函数；
（3）∵f（1）=1，可得f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（4）=f（2）+f（2）=2+2=4
不等式f（2^x-x）+f（x）＞4，可化成f（2^x-x+x）＞f（4），即f（2^x）＞f（4），
∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴2^x＞4，解之得x＞2，
即满足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题给出抽象函数，探讨函数的奇偶性与单调性，并求关于x的不等式的解集．着重考查了函数奇偶性与单调性的综合、赋值法求抽象函数的值等知识，属于基础题．