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    若或1，i=1，2，…，n），则称An为0和1的一个n位排列．对于An，将排列记为R1（An）；将排列记为R2（An）；依此类推，直至Rn（An）=An．对于排列An和Ri（An）（i=1，2，…，n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做An和Ri（An）的相关值，记作．例如，则，．若，则称An为最佳排列．
    （Ⅰ）写出所有的最佳排列A3；
    （Ⅱ）证明：不存在最佳排列A5；
    （Ⅲ）若某个A2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A2k+1中1的个数．
    【答案】分析：（Ⅰ）根据最佳排列的定义可得，最佳排列A3为 ，，，，，．
    （Ⅱ）由 ，可得|a1-a5|，|a2-a1|，|a3-a2|，|a4-a3|，|a5-a4|之中有2个0，3个1，而a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得．
    （Ⅲ） A2k+1与每个Ri（A2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，设a1，a2，…，a2k，a2k+1中有x个0，y个1，则S=2xy，可得，解得或，从而得出结论．
    解答：（Ⅰ）解：最佳排列A3为 ，，，，，．     …（3分）
    （Ⅱ）证明：设，则，
    因为 ，所以|a1-a5|，|a2-a1|，|a3-a2|，|a4-a3|，|a5-a4|之中有2个0，3个1．
    按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．
    但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得，
    从而不存在最佳排列A5． …（7分）
    （Ⅲ）解：由或1，i=1，2，…，2k+1），得，，
    …，．
    因为 ，
    所以 A2k+1与每个Ri（A2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，
    因此有|a1-a2k+1|+|a2-a1|+…+|a2k-a2k-1|+|a2k+1-a2k|=k+1，|a1-a2k|+|a2-a2k+1|+…+|a2k-a2k-2|+|a2k+1-a2k-1|=k+1，
    …，|a1-a3|+|a2-a4|+…+|a2k-a1|+|a2k+1-a2|=k+1，|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a2k-a2k+1|+|a2k+1-a1|=k+1．
    以上各式求和得，S=（k+1）×2k．   …（10分）
    另一方面，S还可以这样求和：设a1，a2，…，a2k，a2k+1中有x个0，y个1，则S=2xy．…（11分）
    所以解得或，
    所以排列A2k+1中1的个数是k或k+1．   …（13分）
    点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知Sn={A|A=（a1，a2，a3，…an）}，ai={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈Sn，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
    （Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；
    （Ⅱ）令w=
    0，0，0，…0
    n个0
    ，U，V∈Sn，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；
    （Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…an），若V∈Sn，求所有d（U，V）之和．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•西城区二模）若An=
    .
    a1a2…an
     (ai=0    或1，i=1，2，…，n），则称An为0和1的一个n位排列．对于An，将排列
    .
    ana1a2…an-1
    记为R1（An）；将排列
    .
    an-1ana1…an-2
    记为R2（An）；依此类推，直至Rn（An）=An．对于排列An和Ri（An）（i=1，2，…，n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做An和Ri（An）的相关值，记作t(An，Ri(An))．例如A3=
    .
    110
    ，则R1(A3)=
    .
    011
    ，t(A3，R1(A3))=-1．若t(An，Ri(An))=-1 (i=1，2，…，n-1)，则称An为最佳排列．
    （Ⅰ）写出所有的最佳排列A3；
    （Ⅱ）证明：不存在最佳排列A5；
    （Ⅲ）若某个A2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A2k+1中1的个数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）计算机内部都以二进制字符表示信息．若u=（a1，a2，…，an），其中ai=0或1（i=1，2，…，n），则称u是长度为n的字节；设u=（a1，a2，…，an），v=（b1，b2，…，bn），用d（u，v）表示满足ai≠bi（i=1，2，…，n）的i的个数．如u=（0，0，0，1），v=（1，0，0，1），则d（u，v）=1．现给出以下三个命题：
    ①若u=（a1，a2，…，an），v=（b1，b2，…，bn），则0≤d（u，v）≤n；
    ②对于给定的长度为n的字节u，满足d（u，v）=n-1的长度为n的字节v共有n-1个；
    ③对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．
    则其中真命题的序号是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    若数学公式或1，i=1，2，…，n），则称An为0和1的一个n位排列．对于An，将排列数学公式记为R1（An）；将排列数学公式记为R2（An）；依此类推，直至Rn（An）=An．对于排列An和Ri（An）（i=1，2，…，n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做An和Ri（An）的相关值，记作数学公式．例如数学公式，则数学公式，数学公式．若数学公式，则称An为最佳排列．
    （Ⅰ）写出所有的最佳排列A3；
    （Ⅱ）证明：不存在最佳排列A5；
    （Ⅲ）若某个A2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A2k+1中1的个数．

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