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【题目】已知抛物线Cy2=2pxp>0)上的点A(4,t)到其焦点F的距离为5.

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)过点F作直线l,使得抛物线C上恰有三个点到直线1的距离为2,求直线1的方程.

【答案】(I);(II).

【解析】

(Ⅰ)由已知列式求出p的值,则抛物线的方程可求;

(Ⅱ)由题意可知,当直线l的斜率不存在时,C上仅有两个点到l的距离为2,不合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykx﹣1),要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2,且过点P的直线l平行ykx﹣1)且与抛物线C相切.设切线方程为ykx+m,与抛物线方程联立,利用判别式为0可得mk的关系,再由F到直线ykx﹣1)的距离为2求得k值,则直线l的方程可求.

(Ⅰ)由抛物线的定义可知|AF|=d=45,

解得:p=2,

故抛物线的方程是:y2=4x

(Ⅱ)由题意可知,当直线l的斜率不存在时,C上仅有两个点到l的距离为2,不合题意;

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykx﹣1),

要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2,

且过点P的直线l平行ykx﹣1)且与抛物线C相切.

设切线方程为ykx+m

代入y2=4x,可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0.

由△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0,得km=1.

,整理得:3k2﹣2kmm2+4=0.

,解得,即k

因此,直线方程为y

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