Question

8．设P是双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d₁，d₂，则d₁•d₂=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d₁•d₂的值．

解答 解：由条件可知：两条渐近线分别为x±$\sqrt{2}$y=0
设双曲线C上的点P（x，y），
则点P到两条渐近线的距离分别为d₁=$\frac{|x+\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$，d₂=$\frac{|x-\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$
所以d₁•d₂=$\frac{|x+\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$•$\frac{|x-\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$=$\frac{{|x}^{2}-2{y}^{2}|}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，求出点P到两条渐近线的距离是关键，属于中档题．