Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求出左顶点为，右焦点为的坐标，由题意求出的坐标，由斜率公式，根据直线的斜率为，这样可以求出椭圆的离心率；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，求得切线方程，代入椭圆方程，求出,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出的值，求得椭圆方程.

（Ⅰ）由题意可知：，设，由题意可知：M在第一象限，且，

，，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以椭圆方程为：

，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，，切线斜率为：，切线直线方程为，即代入椭圆方程中,得，，，

，

到直线的距离，的面积为，所以有

，，椭圆方程为：.