Question

一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥C-PAB的体积．

Answer 1

证明：（I）连接BD，BD∩AC=O，连接OE，
易知OE是△BPD的中位线，
∴BP∥OE，
OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）∵俯视图为正方形，
即ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
PA∩AC=A，BD⊥平面PAC．
PC?平面PAC．
∴PC⊥BD
（III）由已知正方形ABCD的边长为1，
PA=1，
V_C-PAB=V_P-ABC=

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

6

．