Question

如图，以椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．
（1）求证c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证

OP

•

OQ

=

1

2

b²．

Answer 1

分析：（1）直接利用Rt△OFA∽Rt△OBF，找到对应边的比值相等即可证明c²=ab，再求出直线OA的斜率，利用OA与直线BF垂直可得直线BF的斜率，进而求出直线BF的方程以及BF与y轴的交点M的坐标；
（2）先把直线BF的方程与椭圆方程联立，求出关于P、Q两点的坐标以及直线BF的斜率之间的等量关系，代入

OP

•

OQ

整理可得结论．（注意整理过程中要细心）

解答：解：（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，
故

OF

OA

=

OB

OF

，即

c

a

=

b

c

，因此c²=ab．①（2分）
在Rt△OFA中，FA=

OA2-OF2

=

a2-c2

=b
于是，直线OA的斜K_OA=

b

c

．设直线BF的斜率为k，k=-

1

kOA

=-

c

b

．
所以直线BF的方程为：y=-

c

b

(x-c)（5分）
直线BF与y轴的交点为M(0，

c2

b

)即(0，a)．（6分）
（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，k2=

c2

a2

=

ab

a2

=

a

b

②
由已知，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则它们的坐标满足方程

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+a

③
由方程组③消y，并整理得（b²+a²k²）x²+2a³x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，④
由式①、②和④，x1x2=

a4-a2b2

b2+a2k2

+

a2(a2-b2)

b2+a2 a b

=

a2c2

b2+ a3 b

=

a3b2

b3+a3

.x1+x2=

-2a3k

b2+a2k2

y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ka(x1+x2)+a2  =k2 a3b2 b3+a3 +ka -2a3k b2+a2k2 +a2  = a4b a3+b3 - 2a5 a3+b3 +a2  = a4b-a5+a2b3 a3+b3  = a3(ab-a2)+a2b3 a3+b3  = -b2a3+a2b3 a3+b3

综上，得到

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

a2b3

a3+b3

，（12分）
又因a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²，得

OP • OQ = a2b3 a3+b3 = a2b3 (a+b)•2b2 = ab2 2(a+b)  = ac2 2(a+b) = a(a2-b2) 2(a+b) = 1 2 (a2-ab)  = 1 2 (a2-c2)= 1 2 b2

（15分）

点评：本题是对椭圆与圆以及直线与椭圆位置关系的综合考查．这一类型题目，思路比较清晰，就是整理过程要求比较高，所以在做题时，一定要认真，细致．