Question

11．如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，延长MP到点N，使得|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|
（1）当|$\overrightarrow{OP}$|=1时，求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$；
（2）求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，M（-1，0），N（1，2），利用数量积公式求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$；
（2）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，根据$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，利用数量积公式求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．

解答 解：（1）由题意，M（-1，0），N（1，2），
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（-2，0）•（0，2）=0；
（2）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，$\frac{y}{2}$）（x＞0）．
∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，
∴（-x，-$\frac{y}{2}$）•（1，-$\frac{y}{2}$）=0，
∴y²=4x（x＞0）即为所求．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．