【题目】如图①,在五边形中,,,,,将沿折起到的位置,得到如图②所示的四棱锥,为线段的中点,且平面.
(1)求证:平面.
(2)若直线与所成角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)取的中点,连接,,又为的中点,得到四边形为平行四边形,从而应用线面平行的判定定理证得结果.
(2),可得为直线与所成的角,可得,,设,则,,取的中点O,连接PO,过O作AB的平行线,可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,设为平面PBD的法向量,则,利用,即可得出.
(1)证明:取的中点,连接,.
又为的中点,所以,.
又,,所以,.
则四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)解:因为平面,,
所以平面,所以,.
由,即及为的中点,可得为等边三角形,所以.
又,所以,即.
因为平面,平面,,所以平面.
又平面,所以平面平面.
因为,所以即为直线与所成的角,
所以,所以.
设,则,.
取的中点,连接,过作交于点,则,,两两垂直.
以为坐标原点,,,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,所以.
所以,,.
设平面的法向量为,
则,
令,则.
因为.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】
某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温(°C)与该奶茶店的这种饮料销量(杯),得到如下数据:
日 期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均气温(°C) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若从这五组数据中随机抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出y关于x的线性回归方程.
(参考公式:.)
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【题目】2018年10月28日,重庆公交车坠江事件震惊全国,也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查,并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
(Ⅰ)求得分在上的频率;
(Ⅱ)求社区居民问卷调查的平均得分的估计值;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(Ⅲ)以频率估计概率,若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查,记得分在间的人数为,求的分布列.
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【题目】如上图所示,在正方体中, 分别是棱的中点, 的顶点在棱与棱上运动,有以下四个命题:
A.平面 ; B.平面⊥平面;
C. 在底面上的射影图形的面积为定值;
D. 在侧面上的射影图形是三角形.其中正确命题的序号是__________.
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【题目】给出下列四个结论:
①命题“,”的否定是“,”;
②命题“若,则且”的否定是“若,则”;
③命题“若,则或”的否命题是“若,则或”;
④若“是假命题,是真命题”,则命题,一真一假.
其中正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且过点P。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A.B两点,求弦AB的长。
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【题目】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个,求这两个国家包括A1,但不包括B1的概率.
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【题目】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上,且椭圆的短轴长为2,分别为椭圆的左,右焦点,分别为椭圆的左,右顶点,设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若三角形的面积等于四边形的面积,求的值;
(Ⅲ)设点为的中点,射线(为原点)与椭圆交于点,满足,求的值.
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【题目】如图所示,某公园内有两条道路,,现计划在上选择一点,新建道路,并把所在的区域改造成绿化区域.已知, .
(1)若绿化区域的面积为1,求道路的长度;
(2)若绿化区域改造成本为10万元/,新建道路成本为10万元/.设(),当为何值时,该计划所需总费用最小?
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