【题目】我们常常称恒成立不等式(
,当且仅当
时等号成立)为“灵魂不等式”,它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.
(1)试证明这个不等式;
(2)设函数,且在定义域内恒有
,求实数
的值.
【答案】(1)见证明;(2)1
【解析】
(1)方法1:应用数形结合思想方法;方法2:构造函数利用导函数求解函数最大值,使其小于等于0;
(2)函数定义域是,首先将
转化为
,对x分类(
和
)后分离参数,利用(1)中的结论“灵魂不等式”求解a的值.
(1)法1(图象法):在同一坐标系下作出曲线和直线
,发现它们均经过定点
,且
,即直线
是曲线
在定点
处的切线.
故,当且仅当
时等号成立).
法2(导数法):令,则
.
显然在
内单增,在
内单减, 因此
于是.即
,当且仅当
时等号成立.
(2)函数的定义域是
.
等价于
,
即:
当时,
. 由灵魂不等式:
知,
,
因此
当时,
. 由灵魂不等式:
知,
,
因此 当
时,等号成立,
综上可知,实数的值是
.
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【题目】如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是( )
A.点Q到平面PEF的距离
B.直线PE与平面QEF所成的角
C.三棱锥P﹣QEF的体积
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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【题目】把半椭圆(x≥0)与圆弧(x﹣c)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作“曲圆”,其中F(c,0)为半椭圆的右焦点.如图,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=
,扇形FB1A1B2的面积为
.
(1)求a,c的值;
(2)过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P,Q两点,试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数;
(3)在(2)的条件下,当△A1PQ的周长L取得最大值时,试探究△A1PQ的面积是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请求出面积的取值范围.
-
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中点,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.
(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若二面角E﹣BD﹣P大于60°,求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围.
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【题目】对于函数f(x)=atanx+bx3+cx(a、b、c∈R),选取a、b、c的一组值计算f(1)、f(﹣1),所得出的正确结果可能是( )
A.2和1
B.2和0
C.2和﹣1
D.2和﹣2
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【题目】已知圆与直线
,且直线
有唯一的一个点
,使得过
点作圆
的两条切线互相垂直,则
_____;设
是直线
上的一条线段,若对于圆
上的任意一点
,则
的最小值_____.
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【题目】已知命题p:不等式ax2+ax+1>0的解集为R,则实数a∈(0,4);命题q“x2﹣2x﹣8>0”是“x>5”的必要不充分条件,则下列命题正确的是( )
A.p∧q
B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧(¬q)
D.(¬p)∧q
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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