Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

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，
（1）求证：f（x）是R上的奇函数．
（2）求证f（x）在R上是减函数．
（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）赋值x=y=0，可求得f（0）=0，再赋值y=-x即可得到f（x）+f（-x）=0，利用奇偶性的定义可判断f（x）奇偶性；
（2）利用单调性的定义，令x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），利用恒等式进行转化，转化为f（x₂-x₁），利用当x＞0时，f（x）＜0，判断符号，即可证得f（x）在R上是减函数；
（3）利用f（x+y）=f（x）+f（y），以及f（1）=-

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，即可求得f（3）的值，利用f（x）为奇函数即可求得f（-3）的值，根据（2）的结论，即可求得f（x）在[-3，3]上的最大值，最小值．

解答：解：（1）∵f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴y=f（x）是R上的奇函数；
（2）令x₁＜x₂，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），且y=f（x）是R上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）是R上的减函数；
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），
∵f（1）=-

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，
∴f（3）=3f（1）=3×（-

2

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）=-2，
又y=f（x）是R上的奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=2，
∵y=f（x）是R上的减函数，
∴y=f（x）在[-3，3]上单调递减，
∴当x=-3时，f（x）取得最大值f（-3）=2，
当x=3时，f（x）取得最小值f（3）=-2，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数的最值问题．函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题证明函数单调性的关键是运用恒等式进行合理的转化．利用函数的单调性去掉“f”，转化为具体不等式进行求解．属于中档题．