Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0 时，有 ．
（1）求证：f（x）在[﹣1，1]上为增函数；
（2）求不等式 的解集；
（3）若 对所有 恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：任取x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，则 ，

∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数

（2）解： ，等价于 ，求得0≤x＜ ，

即不等式 的解集为

（3）解：由于f（x）为增函数，

∴f（x）的最大值为 对 恒成立 对 的恒成立，

设 ，则 ．

又 = =1+tan2α+2tanα+2=（tanα+1）2+2，

∵α∈[﹣ ， ]，∴tanα∈[﹣ ，1]，故当tanα=1时，

∴t2+t≥6，求得t≤﹣3 t≥2，即为所求的实数t的取值范围．

【解析】（1）由条件利用增函数的定义证得结论．（2）根据函数的奇偶性和单调性，把要解的不等式等价转化为一个不等式组，求得此不等式的解集即可．（3）根据函数的单调性求得f（x）的最大值，可得t2+t≥g（α）= +2tanα+2 对 的恒成立，再求得g（α）的最大值，从而求得t的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键．