Question

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则cos²A+cos²C的最大值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．2
• D．不存在

Answer 1

分析：由题意可得，B=

π

3

，A＜

π

3

＜C，且A+C=

2π

3

．再利用三角恒等变换化简 cos²A+cos²C 为1+2cos（2A+

π

3

）．再由

π

3

＜2A+

π

3

＜π，函数y=1+2cos（2A+

π

6

）
在（

π

3

，π）上是减函数，可得 1+2cos（2A+

π

6

） 无最大值．

解答：解：在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则B=

π

3

，A＜

π

3

＜C，且A+C=

2π

3

．
再由 cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

cos2A+

1

2

cos（

4π

3

-2A）=1+

1

2

cos2A+

1

2

（cos

4π

3

cos2A+sin

4π

3

sin2A）
=1+

1

4

cos2A-

3

4

sin2A=1+2cos（2A+

π

3

）．
再由A＜

π

3

＜C，可得

π

3

＜2A+

π

3

＜π，由于函数y=1+2cos（2A+

π

6

）在（

π

3

，π）上是减函数，故 1+2cos（2A+

π

6

） 无最大值，
故选D．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、余弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．