Question

(本小题满分15分)

已知是实数，是抛物线的焦点，直线．

（1）若,且在直线上，求抛物线的方程；

（2）当时，设直线与抛物线交于两点，过

分别作抛物线的准线的垂线，垂足为，连

交轴于点，连结交轴于点．

①证明：⊥；

②若与交于点，记△、四边形

、△的面积分别为，问

是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(本小题满分15分)

解：（1）当时，直线过定点．

∴抛物线的方程是…………………………4分

  

 

（2）①设．联立　，消去

，得，△…6分

由已知，，于是

同理⊥……………………9分

①方法二：

     由抛物线定义知，∵

              又∵         …………………5分

                   ……6分

             同理FB₁为BFO的平分线，A₁FB₁=90⁰           ……7分   

             又等腰AA₁F中，AM为中线，AMA₁F

             同理BNB₁F                             ……………8分

              AQB=90⁰即AMBN              ……………9分

 ②因，所以，，得∥.同理，∥，而⊥，∴四边形是一个矩形．……………………11分

∴ ,而

……………………13分

假设存在实数使成立，则有

．

故存在实数，使成立．…………15分