Question

已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展开式中没有常数项，n∈N^*且2≤n≤8，则n的值共有（　　）

A．1个

B．2个

C．4个

D．0个

Answer 1

分析：先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项，转化成方程无解．

解答：解：∵已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展开式中没有常数项，n∈N^*且2≤n≤8，∴(x+

1

x2

)n的展开式中不含常数项，不含x^-1项，不含x^-2项．
而 (x+

1

x2

)n的展开式通项公式为 T_r+1=

C

r n

 x^n-r x^-2r=

C

r n

 x^n-3r．
由题意可得，当n∈N^*且2≤n≤8，方程组

n-3r=0 n-3r=-1 n-3r=-2

无解，经检验，n的值不存在，
故选D．

点评：本题考查数学中的等价转化的能力和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项，属于中档题．