Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）P不存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得，可得A（0，1），B（0，-1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为-1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在

试题解析：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，

又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，

即有椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，

即有n2=1﹣，

由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），

由P，A，M共线可得，kPA=kMA，即为=，

可得s=1+，

由P，B，N共线可得，kPB=kNB，即为=，

可得s=﹣1．

假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．

可得QM⊥QN，即有=﹣1，即st=﹣4．

即有[1+][﹣1]=﹣4，

化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，

解得m=0或8，

由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．