Question

已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．

Answer 1

分析：（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂ ，由已知可得f（x₁）＜f（x₂）．再由函数的零点的定义可得f（x₁）=f（x₂）=0，
这与f（x₁）＜f（x₂）矛盾，所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，综合可得函数f（x）的图象
不可能与x轴有两个以上交点．

解答：证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）
（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂ ，…（5分）
由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x₁，x₂，当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
又根据假设，x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，所以，f（x₁）=f（x₂）=0，…（9分）
这与f（x₁）＜f（x₂）矛盾，…（10分）
所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）
（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）
所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．
综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键，属于中档题．