Question

已知双曲线C与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1有共同的渐近线，且经过点P(4，-3

2

)．
（I）求双曲线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与双曲线C有唯一公共点，求k的值．

Answer 1

分析：（I）利用双曲线C与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1有共同的渐近线，设出双曲线方程，代入P的坐标，即可求双曲线C的方程，从而可求准线方程；
（Ⅱ）直线y=kx+1与双曲线C联立，分类讨论，利用判别式，可求k的值．

解答：解：（I）设双曲线C的方程为

x2

16

-

y2

9

=λ，根据题意得

16

16

-

18

9

=λ，∴λ=-1．
∴双曲线C的方程为

y2

9

-

x2

16

=1
∴a=3，b=，4，c=

a2+b2

=5
∴双曲线C的准线方程为y=±

a2

c

=±

9

5

．
（Ⅱ）由

y2 9 - x2 16 =1 y=kx+1

得（16k²-9）x²+32kx-128=0，
当16k²-9=0，即k=±

3

4

时，方程分别有一解，从而方程组分别有一解，符合题意；
当16k²-9≠0，即k≠±

3

4

时，由△=（32k）²+512（16k²-9）=0得k2=

1

2

，∴k=±

2

2

．
综上，k的值为±

3

4

和±

2

2

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．