Question

13．用数学归纳法证明：（1+α）ⁿ≥1+nα（其中α＞-1，n是正整数）．

Answer 1

分析 要证明当α＞-1时，（1+α）ⁿ≥1+nα，先证明n=1时，（1+α）ⁿ≥1+nα成立，再假设n=k时，（1+α）ⁿ≥1+nx成立，进而证明出n=k+1时，（1+α）ⁿ≥1+nα也成立，即可得到对于任意正整数n：当α＞-1时，（1+α）ⁿ≥1+nα．

解答 解：因为（1+α）ⁿ≥1+αn为关于n的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
当n=2时，左边=1+2α+α²，右边=1+2α，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即（1+α）^k≥1+kα，
则当n=k+1时，
∵α＞-1，
∴1+α＞0，于是在不等式（1+α）^k≥1+kα两边同乘以1+α得
（1+α）^k•（1+α）≥（1+kα）•（1+α）=1+（k+1）α+kα²≥1+（k+1）α，
所以（1+α）^k+1≥1+（k+1）α．即当n=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立

点评 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．