Question

11．若$\overrightarrow{m}=（-sinx+1，t）$，$\overrightarrow{n}=（sinx，1）$，f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）若t=2，且x∈[0，2π]，求使得f（x）=0的x的值；
（2）若f（x）=0，有实数解，求实数t的取值范围；
（3）若1$≤f（x）≤\frac{17}{4}$对一切x∈R恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，求得f（x）的解析式．由f（x）=0可得sinx=-1，再结合x∈[0，2π]，可得x的值．
（2）由题意可得 t=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$．再根据sinx∈[-1，1]，利用二次函数的性质求得t的范围．
（3）若1$≤f（x）≤\frac{17}{4}$对一切x∈R恒成立，则f（x）∈[1，$\frac{17}{4}$]．求得f（x）的最大值和最小值，可得t的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinx-sin²x+t=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$+t，
∵t=2，∴f（x）=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$．
由f（x）=0可得sinx=-1，再结合x∈[0，2π]，可得x=$\frac{3π}{2}$．
（2）f（x）=0有实数解，则-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$+t=0有解，即 t=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$．
再根据sinx∈[-1，1]，可得t∈[-$\frac{1}{4}$，2]．
（3）若1$≤f（x）≤\frac{17}{4}$对一切x∈R恒成立，则f（x）∈[1，$\frac{17}{4}$]．
由于f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$+t，最小值为t-2，∴$\frac{1}{4}$+t≤$\frac{17}{4}$，且 t-2≥1，
求得 3≤t≤4．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．