Question

17．已知一个直角三角形的周长为$\sqrt{2}+1$，则它的面积的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设两直角边为a，b，斜边长为c，依题意，a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，利用基本不等式可求得$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而可求得该直角三角形面积的最大值．

解答 解：设两直角边为a，b，斜边长为c，
则c²=a²+b²，且a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，
∴$\sqrt{2}$+1=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2}$$\sqrt{ab}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，
即$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=b时取等号．
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
即S_max=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查基本不等式，依题意，得到a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1是应用基本不等式基础，考查创新与运算能力，属于中档题．