Question

已知函数f(x)=

lnax

x

(a＞0，a∈R)，e为自然对数的底，
（1）求f（x）的最值；
（2）若关于x方程ln2x=x³-ex²+mx有两个不同解，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的极值，从而求得函数的最值．
（2）由（1）可得f（x）在x=

e

2

处取得最大值，条件等价于

ln2x

x

=x2-ex+m=(x-

e

2

)2+m-

e2

4

 有2个不同的解，结合图象可知m-

e2

4

＜

2

e

，由此求得m的范围．

解答：解：（1）a＞0，定义域为（0，+∞），f′(x)=

1-lnax

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

e

a

，当x∈(0，

e

a

)时，f′（x）＞0．
当x∈(

e

a

，+∞)时，f′（x）＜0，所以fmax(x)=f(

e

a

)=

a

e

．
（2）由（1）可知f(x)=

ln2x

x

在x=

e

2

时，取得最大值

2

e

，ln2x=x3-ex2+mx?

ln2x

x

=x2-ex+m=(x-

e

2

)2+m-

e2

4

，要让方程有两个不同解，
结合图象可知：m-

e2

4

＜

2

e

，解得m＜

2

e

+

e2

4

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，利用导数求函数的极值，属于中档题．