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已知函数f(x)=
lnaxx
(a>0,a∈R)
,e为自然对数的底,
(1)求f(x)的最值;
(2)若关于x方程ln2x=x3-ex2+mx有两个不同解,求m的范围.
分析:(1)利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的极值,从而求得函数的最值.
(2)由(1)可得f(x)在x=
e
2
处取得最大值,条件等价于
ln2x
x
=x2-ex+m=(x-
e
2
)
2
+m-
e2
4
 有2个不同的解,结合图象可知m-
e2
4
2
e
,由此求得m的范围.
解答:解:(1)a>0,定义域为(0,+∞),f(x)=
1-lnax
x2

令f′(x)=0,解得x=
e
a
,当x∈(0,
e
a
)
时,f′(x)>0.
x∈(
e
a
,+∞)
时,f′(x)<0,所以fmax(x)=f(
e
a
)=
a
e

(2)由(1)可知f(x)=
ln2x
x
x=
e
2
时,取得最大值
2
e
ln2x=x3-ex2+mx?
ln2x
x
=x2-ex+m=(x-
e
2
)2+m-
e2
4
,要让方程有两个不同解,
结合图象可知:m-
e2
4
2
e
,解得m<
2
e
+
e2
4
点评:本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用,利用导数求函数的极值,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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