分析 (Ⅰ)设AC∩BD=F,连接EF,则EF∥PC,由此能证明PC∥平面BDE.
(Ⅱ)由余弦定理得$AC=2\sqrt{3}$,从而PA2+AC2=PC2,进而PA⊥AC,以A为原点,分别以AC,AP所在直线为y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,利用向量法能求出二面角P-BD-E大小的余弦值.
解答 (本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)设AC∩BD=F,连接EF,
∵E,F分别为PA,AC的中点,∴EF∥PC,…(1分)
∵EF?平面BDE,PC?平面BDE,…(3分)
∴PC∥平面BDE.…(3分)
解:(Ⅱ)△ABC中,∠ABC=180°-60°=120°,AB=BC=2,
由余弦定理得AC2=4+4-2×2×2×cos120°=12,∴$AC=2\sqrt{3}$.
在△PAC中,∵$PC=4,PA=2,AC=2\sqrt{3}$满足PA2+AC2=PC2,
∴所以PA⊥AC,…(4分)
又∵平面PAC⊥平面ABCD且平面PAC∩平面ABCD=AC,…(5分)
∴PA⊥平面ABCD.…(5分)
如图,以A为原点,分别以AC,AP所在直线为y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,…(6分)
则$A({0,0,0}),P({0,0,2}),E({0,0,1}),B({1,\sqrt{3},0}),D({-1,\sqrt{3},0})$,$\overrightarrow{DB}=({2,0,0}),\overrightarrow{EB}=({1,\sqrt{3},-1}),\overrightarrow{PB}=({1,\sqrt{3},-2})$.…(7分)
设平面EBD的一个法向量为n=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{n}•\overrightarrow{DB}=2x=0\\{n}•\overrightarrow{EB}=x+\sqrt{3}y-z=0.\end{array}\right.$,整理,得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=\sqrt{3}y\end{array}\right.$,
令y=1,得${n}=({0,1,\sqrt{3}})$.…(9分)
设平面PDB的一个法向量为m=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{m}•\overrightarrow{DB}=2x=0\\{m}•\overrightarrow{PB}=x+\sqrt{3}y-2z=0.\end{array}\right.$整理,得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=\frac{{\sqrt{3}}}{2}y\end{array}\right.$,
令y=2,得${m}=({0,2,\sqrt{3}})$,…(10分)
则$cos<{n},{m}>=\frac{{{n}•{m}}}{{|{n}|•|{m}|}}=\frac{2+3}{{2•\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$,
所以二面角P-BD-E大小的余弦值为$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$.…(12分)
点评 本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -3≤a≤6 | B. | a≥6或a≤-3 | C. | -3<a<6 | D. | a>6或a<-3 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$ | D. | $\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com