【题目】已知函数 .
(1)当m=1时,求证:对x∈[0,+∞)时,f(x)≥0;
(2)当m≤1时,讨论函数f(x)零点的个数.
【答案】
(1)证明:当m=1时, ,则f'(x)=ex﹣x﹣1,
令g(x)=ex﹣x﹣1,则g'(x)=ex﹣1,当x≥0时,ex﹣1≥0,即g'(x)≥0,
所以函数f'(x)=ex﹣x﹣1在[0,+∞)上为增函数,
即当x≥0时,f'(x)≥f'(0),所以当x≥0时,f'(x)≥0恒成立,
所以函数 ,在[0,+∞)上为增函数,又因为f(0)=0,
所以当m=1时,对x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立
(2)解:由(1)知,当x≤0时,ex﹣1≤0,所以g'(x)≤0,所以函数f'(x)=ex﹣x﹣1的减区间为(﹣∞,0],增区间为[0,+∞).所以f'(x)min=f'(0)=0,所以对x∈R,f'(x)≥0,即ex≥x+1.
①当x≥﹣1时,x+1≥0,又m≤1,∴m(x+1)≤x+1,∴ex﹣m(x+1)≥ex﹣(x+1)≥0,即f'(x)≥0,所以当x≥﹣1时,函数f(x)为增函数,又f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>0,当﹣1≤x<0时,f(x)<0,所以函数f(x)在区间[﹣1,+∞)上有且仅有一个零点,且为0.
②当x<﹣1时,(ⅰ)当0≤m≤1时,﹣m(x+1)≥0,ex>0,所以f'(x)=ex﹣m(x+1)>0,
所以函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上递增,所以f(x)<f(﹣1),且 ,
故0≤m≤1时,函数y=f(x)在区间(﹣∞,﹣1)上无零点.
(ⅱ)当m<0时,f'(x)=ex﹣mx﹣m,令h(x)=ex﹣mx﹣m,则h'(x)=ex﹣m>0,
所以函数f'(x)=ex﹣mx﹣m在(﹣∞,﹣1)上单调递增,f'(﹣1)=e﹣1>0,
当 时, ,又曲线f'(x)在区间 上不间断,
所以x0∈ ,使f'(x0)=0,
故当x∈(x0,﹣1)时,0=f'(x0)<f'(x)<f'(﹣1)=e﹣1,
当x∈(﹣∞,x0)时,f'(x)<f'(x0)=0,
所以函数 的减区间为(﹣∞,x0),增区间为(x0,﹣1),
又 ,所以对x∈[x0,﹣1),f(x)<0,
又当 时, ,∴f(x)>0,
又f(x0)<0,曲线 在区间 上不间断.
所以x1∈(﹣∞,x0),且唯一实数x1,使得f(x1)=0,
综上,当0≤m≤1时,函数y=f(x)有且仅有一个零点;当m<0时,函数y=f(x)有个两零点
【解析】(1)当m=1时, ,则f'(x)=ex﹣x﹣1,令g(x)=ex﹣x﹣1,利用导数研究其单调性极值与最值,可得函数f'(x)=ex﹣x﹣1在[0,+∞)上为增函数,即当x≥0时,f'(x)≥f'(0)=0,可得函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,即可证明.(2)由(1)知,当x≤0时,ex﹣1≤0,所以g'(x)≤0,可得ex≥x+1.①当x≥﹣1时,x+1≥0,又m≤1,m(x+1)≤x+1,可得ex﹣m(x+1)≥0,即f'(x)≥0,可得:函数f(x)在区间[﹣1,+∞)上有且仅有一个零点,且为0.②当x<﹣1时,(ⅰ)当0≤m≤1时,﹣m(x+1)≥0,ex>0,可得f'(x)=ex﹣m(x+1)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上递增,函数y=f(x)在区间(﹣∞,﹣1)上无零点. (ⅱ)当m<0时,f'(x)=ex﹣mx﹣m,令h(x)=ex﹣mx﹣m,则h'(x)>0,函数f'(x)=ex﹣mx﹣m在(﹣∞,﹣1)上单调递增,f'(﹣1)=e﹣1>0,可得函数存在两个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店.
(1)若从10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求X的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查50人,并将调查情况进行整理后制成如表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,60) |
频数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
赞成人数 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
(1)世界联合国卫生组织规定:[15,45)岁为青年,(45,60)为中年,根据以上统计数据填写以下2×2列联表:
青年人 | 中年人 | 合计 | |
不赞成 |
|
|
|
赞成 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为赞成“车柄限行”与年龄有关? 附: ,其中n=a+b+c+d
独立检验临界值表:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(3)若从年龄[15,25),[25,35)的被调查中各随机选取1人进行调查,设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.
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【题目】参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.
定价x(元/千克) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年销量y(千克) | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
z=2 ln y | 14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
参考数据:
,
.
(1)根据散点图判断y与x,z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).
(3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为
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【题目】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)= ,称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有以下四个命题: ①f(f(x))=1;
②函数f(x)是偶函数;
③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立;
④存在三个点A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),C(x3 , f(x3)),使得△ABC为等边三角形.
其中真命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【题目】设函数f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)求不等式﹣2<f(x)<0的解集A;
(Ⅱ)若m,n∈A,证明:|1﹣4mn|>2|m﹣n|.
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