Question

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H．有下列四个命题：

 

A．点H是△A₁BD的垂心；
B．AH垂直平面CB₁D₁；
C．二面角C-B₁D₁-C₁的正切值为

2

；
D．点H到平面A₁B₁C₁D₁的距离为

3

4

其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）

Answer 1

分析：结合正方体图形，逐一判断选项，求得结果即可．

解答：解：因为三棱锥A-A₁BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；
面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，B正确；
连接A₁C₁∩B₁D₁=O?∠COC₁即为二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，tanα=

1

2 2

=

2

，C正确；
对于D，连接AC₁，?AC₁⊥面A₁BD，故点H是AC₁
的三等分点，故点H到平面A₁B₁C₁D₁的距离为

2

3

×AA1=

2

3

．从而D错．
则应填ABC．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角及其度量等知识，考查空间想象能力，是基础题．