Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则

2

a

+

3

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：画出约束条件表示的可行域，通过目标函数的最值，求出a、b的关系，利用基本不等式求出表达式的最小值．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．

当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值4，
即4a+6b=4，即a+

3

2

b=1．
所以

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（a+

3

2

b）
=

13

2

+

3b

a

+

3a

b

≥

13

2

+2

3b a × 3a b

=

13

2

+6=

25

2

．
当且仅当

3b

a

=

3a

b

，且a+

3

2

b=1，即a=b=

2

5

时取等号．
故答案为：

25

2

．

点评：本题考查简单的线性规划，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．