Question

（09年湖北重点中学联考理）（12分）

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90⁰，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。

（1）求证：PB∥平面EFG；

（2）求异面直线EG与BD所成的角；

Answer 1

解析： 解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH//AD//EF，

∴E，F，G，H四点共面。又H为AB中点，

∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，

∴PB//面EFG。                                                 

（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在Rt△MGE中，

故异面直线EG与BD所成的角为。                     12分

解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

 

则，，，， ，，，。（1）证明：∵，，，设，即

解得。∴，又∵与不共线，∴、与共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。 6分

（2）解：∵，，∴。

故异面直线EG与BD所成的角为。                     12分