Question

如图，直线l⊥x轴，从原点开始向右平行移动到x=8处停止，它扫过△AOB 所得图形的面积为s，它与x轴的交点为（x，0）．
（1）求函数S=f（x）的解析式； 
（2）求函数S=f（x）的定义域、值域；
（3）在何处时，S=14．

Answer 1

分析：直线垂直于x轴在区间[0，4]上运动时，扫过的图形是三角形，当直线超过点（4，0）时，扫过的图形面积等于大三角形面积减去右边小三角形面积．

解答：解：（1）当0≤x≤4时，S=

1

2

x2，当4＜x≤8时，S=

1

2

×8×4-

1

2

×(8-x)2=-

1

2

x2+8x-16，
 所以f(x)=

1 2 x2                   (0≤x≤4) - 1 2 x2+8x-16  (4＜x≤8)

（2）函数f（x）的定义域为[0，8]，
当0≤x≤4时，f（x）=

1

2

x2为增函数，所以f（x）∈[0，8]，
当4＜x≤8时，f(x)=-

1

2

x2+8x-16在（4，8]上为怎函数，所以f（x）∈（8，16]．
所以函数的值域为[0，16]．
（3）由（2）知，S=f（x）=14适合函数f(x)=-

1

2

x2+8x-16，由-

1

2

x2+8x-16=14，得x=6，或x=10（舍），
所以当直线与x轴交与点（6，0）时，直线扫过的面积为14．

点评：本题考查了实际问题当中的函数解析式的求解方法，考查了数形结合的解题思想，考查了分段函数定义域与值域的求法，分段函数的定义域与值域是各段的并集．