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13.已知函数f(x)=mx-sinx-cosx,g(x)=(ax-1)cosx-2sinx(a>0).
(Ⅰ)若函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,求实数m的最大值;
(Ⅱ)若m=1,且对于任意x∈[0,$\frac{π}{2}$],都有不等式f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)求导,利用导函数和原函数单调性关系转换成最值问题,进行求解即可;
(2)对式子 整理可得:x+sinx≥axcosx,分别讨论,转换成求函数最值:a≤$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$,
构造函数,利用导数判断函数的单调性,进而利用极限的方法求出函数的最小极限值.

解答 解:(1)f(x)=mx-sinx-cosx,
∴f'(x)=m-cosx+sinx
=m+$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)≤0恒成立,
∴m≤-$\sqrt{2}$,
∴实数m的最大值为-$\sqrt{2}$;
(2)m=1,
∴x+sinx≥axcosx,
当x=0,或x=$\frac{π}{2}$时,显然成立,
当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时,
a≤$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$,
令h(x)=$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$,
$\frac{1}{cosx}$显然在此区间是增函数,令p(x)=$\frac{tanx}{x}$,
∴p'(x)=$\frac{x-\frac{1}{2}sin2x}{{x}^{2}co{s}^{2}x}$,令r(x)=x-$\frac{1}{2}$sin2x,
∴r'(x)=1-$\frac{1}{2}$cos2x>0,
∴r(x)>r(0)=0,
∴p'(x)>0,
∴h(x)在区间(0,$\frac{π}{2}$)上递增,
∴h(x)>2,
故a的范围为a≤2.

点评 考查了函数求导和恒成立问题的转换,利用导函数判断函数的单调性,利用极限求极限值.

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