Question

已知函数f（x）=

-ex+ax+b，x＜1 x2lnx-cx+c+1，x≥1

（a，b，c∈R且为常数），函数f（x）在x=0处取得极值1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数y=f（x）在区间（-∞，2]上的最大值为1，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据极值的性质（极值是函数值，再就是极值点处的导数值为0）列出关于a，b的方程组，解之即可；
（2）先研究函数在（-∞，2]上的单调性，然后结合分类讨论确定出在何处取得最大值1，列出c的方程，求解即可．

解答： 解：（1）当x＜1时，f'（x）=-e^x+a，由f'（0）=0，f（0）=1解得a=1，b=2；
（2）x＜1时f（x）=-e^x+x+1，f'（x）=-e^x+1，
当x＜0时，f'（x）＞0，函数y=f（x）在（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在区间（-∞，1）上的最大值是f（0）=1
当x≥1时，f'（x）=2xlnx+x-c在区间[1，+∞）上单调递增，又f（1）=1，f'（1）=1-c，f'（2）=4ln2+2-c，所以
①c≤1时，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，当x∈（1，2]时，f（x）＞1，不符合条件；
②c≥4ln2+2时，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，当x∈（1，2]时，f（x）＜1，函数y=f（x）在区间（-∞，2]上的最大值为1
③当1＜c＜4ln2+2时，f'（1）＜0，f'（2）＞0，存在唯一x₀∈（1，2）使得f'（x₀）=0，此时f（x）在区间（1，x₀）上递减，在区间（x₀，2）上递增，函数f（x）在区间[1，2]上最大值为f（1）=1等价于f（2）≤1，即4ln2≤c＜4ln2+2．
综上，实数c的取值范围是[4ln2，+∞）．

点评：本题考查了函数极值的性质的应用，以及利用导数研究函数在指定区间上的单调性的解题思路，属于中档题．