【题目】已知数列,满足:.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,且.
① 记,求证:数列为等差数列;
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.
【答案】(1)
(2)①根据等差数列的定义,证明相邻两项的差为定值来得到证明.从第二项起满足题意即可.
②当,数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次
【解析】
试题解:(1)当时,有
.
又也满足上式,所以数列的通项公式是. 4分
(2)①因为对任意的,有,所以,
,
所以,数列为等差数列. 8分
②设(其中为常数且,
所以,,
即数列均为以7为公差的等差数列. 10分
设.
(其中为中一个常数)
当时,对任意的,有; 12分
当时,.
(Ⅰ)若,则对任意的有,所以数列为递减数列;
(Ⅱ)若,则对任意的有,所以数列为递增数列.
综上所述,集合.
当时,数列中必有某数重复出现无数次;
当时,数列均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 18分
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【题目】已知矩形,,,将沿对角线进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中,有下列结论正确的有_____.
①三棱锥的体积的最大值为;
②三棱锥的外接球体积不变;
③三棱锥的体积最大值时,二面角的大小是60°;
④异面直线与所成角的最大值为90°.
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【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,C、D两点的坐标为,曲线上的动点P满足.又曲线上的点A、B满足.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:原点到直线AB的距离为定值.
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【题目】如题所示:扇形ABC是一块半径为2千米,圆心角为60°的风景区,P点在弧BC上,现欲在风景区中规划三条三条商业街道PQ、QR、RP,要求街道PQ与AB垂直,街道PR与AC垂直,直线PQ表示第三条街道。
(1)如果P位于弧BC的中点,求三条街道的总长度;
(2)由于环境的原因,三条街道PQ、PR、QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元)
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【题目】如图,在三棱锥中,底面,.点、、分别为棱、、的中点,是线段的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长.
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【题目】年月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足(表示碳原有的质量),则经过年后,碳的质量变为原来的________;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间.(参考数据:)
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【题目】在棱长为2的正方体中,点是对角线上的点(点与、不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点,使得平面平面;
②存在点,使得平面;
③若的面积为,则;
④若、分别是在平面与平面的正投影的面积,则存在点,使得.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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