Question

设函数f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：先求出其导函数；
（Ⅰ）把a=-1代入导函数，根据导函数值的正负求出汉化苏的单调区间即可求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）把问题转化为f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立，再转化为关于a的不等式，结合x的范围即可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）根据题意得到，解不等式即可得到结论．
解答：解：由题得：f′（x）=6x²-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）．
（Ⅰ）当a=-1时，f′（x）=6（x-3）（x+1）．…（1分）
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞3．
所以f（x）在（-∞，-1）或（3，+∞）上单调递增，在（-1，3）上单调递减．
当x=-1时，f（x）的最大值为f（-1）=18．
当x=3时，f（x）的最小值为f（3）=-46．…（4分）
（Ⅱ）依题意：f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立．…（5分）
因x∈[1，2]，（3-x）＞0，
故a≤=x在x∈[1，2]恒成立，
所以a≤x_min=1．…（8分）
（Ⅲ）显然，x=3，x=a是极值点．
依题意，当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，有：

即…（12分）
所以：1＜a＜或a＞8为所求．…（14分）
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．