Question

15．在正项等比数列{a_n}中，${a_2}=8，\;\;16{a_4}^2={a_1}•{a_5}$，则等比数列{a_n}的前n项积T_n中最大的值是（　　）

• A． T₃
• B． T₄
• C． T₅
• D． T₆

Answer 1

分析 由题意可得数列的首项和公比，由等差数列的求和公式可得T_n，由二次函数的最值可得．

解答 解：∵在正项等比数列{a_n}中${a_2}=8，\;\;16{a_4}^2={a_1}•{a_5}$，
∴16a₄²=a₁a₅=a₃²，∴16a₃²q²=a₃²，解得q=$\frac{1}{4}$，
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{8}{\frac{1}{4}}$=32，
∴等比数列{a_n}的前n项积T_n=a₁ⁿq^1+2+…+n-1
=32ⁿ•$（\frac{1}{4}）^{\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}}$=2⁵ⁿ•${2}^{n-{n}^{2}}$=${2}^{6n-{n}^{2}}$，
由二次函数可知当n=-$\frac{6}{2×（-1）}$=3时，T_n取最大的值．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的求和公式和等差数列的求和公式，涉及二次函数的最值，属基础题．