Question

设有两个命题：p：不等式(

1

3

)x+4＞m＞2x-x2对x∈R恒成立，q：f（x）=-（7-2m）^x是R上的减函数；如果“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由不等式恒成立可得到m的范围，由符合函数的真假及指数函数的单调性，可求m的另一个范围，最后把复合命题“p或q”为假命题转化为p假而且q假，从而取交集的答案．

解答：解：不等式(

1

3

)x+4＞m＞2x-x2对x∈R恒成立，
等价于[(

1

3

)x+4]min＞m＞(2x-x2)max，
而[(

1

3

)x+4]min＞4，（2x-x²）_max=1
可得当p真：1＜m≤4，则p假：m≤1或m＞4；
f（x）=-（7-2m）^x是R上的减函数，则（7-2m）＞1
可得当q真：m＜3，则q假：m≥3
“p或q”为假命题，表示p假而且q假
故实数m的取值范围为m＞4

点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的最值问题及恒成立问题，属基础题．