Question

（I）已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y=kx+m且椭圆C的交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线方程和椭圆方程联立进而可得x₁+x₂和y₁+y₂的表达式，进而可得AB中点M的坐标进而可判定AB的中点M在过原点的直线b²x+a²ky=0上．
（II）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A₁、B₁和C₁、D₁，并分别取A₁B₁、C₁D₁的中点M₁、N₁，连接直线M₁N₁，那么直线MN和M₁N₁的交点O即为椭圆中心．

解答：解：（I）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则有

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，解得 （b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，
∵△＞0，∴m²＜b²+a²k²，即 -

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
则 x1+x2=-

2a2km

b2+a2k2

，y1+y2=kx1+m+kx2+m=

2b2m

b2+a2k2

，
∴AB中点M的坐标为(-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

)．
∴线段AB的中点M在过原点的直线 b²x+a²ky=0上．…（8分）
另解：也可以用点差法先求出

y0

x0

=-

b2

a2k

（其中（x₀，y₀）为AB的中点M的坐标），因此线段AB的中点M在过原点的直线 b²x+a²ky=0上．
（Ⅱ）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A₁、B₁和C₁、D₁，并分别取A₁B₁、C₁D₁的中点M₁、N₁，连接直线M₁N₁，那么直线MN和M₁N₁的交点O即为椭圆中心．…（14分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．综合考查了学生对椭圆性质和利用韦达定理来解决椭圆与直线问题的掌握．