Question

现有长度为48cm和面积为Sm²的铁皮，用钢管焊接一个长方体框架，再用铁皮围在框架的六个表面做成一个长方体水箱（不考虑建材和焊接的损失）．
（1）无论如何焊接长方体，若要确保铁皮够用，求铁皮面积S的最小值．
（2）若铁皮面积为90m²，如何设计长方体的尺寸才能使水箱容积最大？并求最大容积．

Answer 1

分析：（1）长方体水箱的长宽高分别为x，y，z，由已知可得x+y+z=12，利用基本不等式要求出水箱表面积S的最小值；
（2）若铁皮面积为90m²，则ab+bc+ca=45，设体积V=abc，可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

45

V

，利用基本不等式，可求出体积的最大值．

解答：解：（1）设长方体水箱的长宽高分别为x，y，z，
则4（x+y+z）=48，即
x+y+z=12
此时，长方体水箱的表面积S=2（xy+yz+xz）
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=

1

2

[（x²+y²）+（x²+z²）+（y²+z²）]+2（xy+yz+xz）≥3（xy+yz+xz）
∴S≤

2

3

（x+y+z）²=96
当且仅当x=y=z=4时，铁皮面积S的最小值为96m²．
（2）∵2（ab+bc+ca）=90
∴ab+bc+ca=45…①
设V=abc…②
①÷②得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

45

V

∴

45

V

≥3

3	1 abc

=3

3	1 V

∴V≤15

15

当且仅当a=b=c=

15

时取等
即长方体的长宽高均为

15

m时，水箱的体积最大，最大体积为15

15

m³．

点评：本题考查的知识点是基本不等式，是基本不等式的简单应用，其中根据已知分析出“定”值是解答的关键．