Question

（14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB
是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（III）求直线AB与平面PCD的距离．

Answer 1

（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB
又∵BC侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC）
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE

又∵△PAB是等边三角形
∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB 
∴AB⊥平面PEF
又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF
∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=为所求

解析