Question

【题目】已知函数，其中，为实参数．求所有的数对，使得函数在区间内恰好有2011个零点．

Answer 1

【答案】，，

【解析】

首先，函数以为周期，且以为对称轴，即，．其次，，

，．

因为，关于对称，所以，在及上

的零点个数为偶数．

要使在区间内恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点．

（1）若，则，．

考虑区间及上的零点个数．

当时，．

令．则．

解得（舍），．故在内有两解． ’

当时，．

解得（舍），（舍）．故在内无解．

因此，在区间内有三个零点．

故在内有个零点．解得．

（2）若，则，，．

当时，．

令．则．

解得，（舍）．故在内有一解．

当时，．

令．则，在内无解．

故在区间内只有一个零点．

于是，在内有个零点．

（3）若，则，，．

同（2）讨论，知在区间内只有一个零点．

故在内有个零点．

综上，满足条件的，，．