Question

设a＜1，解关于x的不等式

x+2	ax2+a2x-x-a

＞0．

Answer 1

分析：不等式中各因式的根分别为-a、

1

a

、-2，分a＜-2、a=-2、-2＜a＜-

1

2

、a=-

1

2

、0＞a＞-

1

2

、a=0、0＜a＜1七种情况，分别求出不等式的解集，综合可得结论．

解答：解：关于x的不等式

x+2

ax2+a2x-x-a

＞0 即 

x+2

(ax-1)(x+a)

＞0，即 

x+2

a(x- 1 a )(x+a)

＞0．
不等式中，各因式的根分别为-2、-a、

1

a

．
①当a＜-2时，有-a＞

1

a

＞-2，不等式即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＜0，
解得-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2，故不等式的解集为 {x|-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2}．
②当a=-2时，不等式即

x+2

(-2)•(x-2)(x+ 1 2 )

＞0，即 

x+2

(x+2)(x+ 1 2 )

＜0，
∴x≠-2，且x＜-

1

2

，故不等式的解集为 {x|x＜-

1

2

，且 x≠-2 }．
③当-2＜a＜-

1

2

 时，有-a＞

1

a

＞-2，不等式即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＜0，解得-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2，
故不等式的解集为 {x|-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2}．
④当a=-

1

2

时，不等式即

x+2

(- 1 2 )•(x- 1 2 )(x+2)

＞0，即

x+2

(x+2)(x+ 1 2 )

＜0，
∴x≠-2，且x＜-

1

2

，故不等式的解集为 {x|x＜-

1

2

，且 x≠-2}．
⑤当0＞a＞-

1

2

 时，有-a＞-2＞

1

a

，不等式即 

x+2

a•(x+a)(x- 1 a )

＞0，即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＜0，
解得-a＞x＞-2，或 x＜

1

a

，故不等式的解集为 {x|-a＞x＞-2，或 x＜

1

a

}．
⑥当a=0时，不等式即

x+2

-x

＞0，即

x+2

x

＜0，解得-2＜x＜0，故不等式的解集为{x|-2＜x＜0 }．
⑦当0＜a＜1时，不等式即 

x+2

a•(x+a)(x- 1 a )

＞0，即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＞0，解得x＞

1

a

，或-2＜x＜a，
故不等式的解集为 {x|x＞

1

a

，或-2＜x＜a }．
综上可得，
当a＜-2 或-2＜a＜-

1

2

 时，解集为 {x|-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2}；
当a=-2或a=-

1

2

时，解集为 {x|x＜-

1

2

，且 x≠-2 }；
当0＞a＞-

1

2

 时，解集为 {x|-a＞x＞-2，或 x＜

1

a

}；
当a=0时，解集为{x|-2＜x＜0 }；
当0＜a＜1时，解集为 {x|x＞

1

a

，或-2＜x＜a }．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论以及化归与转化的数学思想，属于中档题．