Question

（本小题满分12分）

设函数

（1）当时，求的最大值；

（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）≥

（3）

【解析】解：（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），

当时，，

（2′）

令=0，解得.（∵）

因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值………4分

（2），，则有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）当时，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则.

令，.

因为，，

所以（舍去），

    ，

    当时，，在（0，）上单调递减，

    当时，，在（，+∞）单调递增

    当时，=0，取最小值.（12′）

    则既

所以，因为，所以（*）

设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.

因为，所以方程（*）的解为，

即，解得.…12分