Question

1．若函数f（x）=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|（a，b∈R）的最大值为11，则a²+b²=50．

Answer 1

分析 化简asinx+bcosx为$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α），化简bsinx-acosx 为-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α），可得f（x）的解析式，当f（x）达到最大值时，f（x）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α）+1+$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）=1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α+$\frac{π}{4}$），结合题意可得 1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=11，由此求得a²+b²的值．

解答 解：∵asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$（$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx+$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$cosx）
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α），其中，tanα=$\frac{b}{a}$，
又 bsinx-acosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$[$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$（-cosx ）+$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx]
=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$[$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$cosx-$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx]=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）．
∴函数f（x）=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|=|$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α）-1|+|$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）|
f（x）达到最大值时，f（x）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α）+1+$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）
=1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α+$\frac{π}{4}$）．
由于函数f（x）的最大值为11，∴1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=11，∴a²+b²=50，
故答案为：50．

点评 本题主要考查辅助角公式，三角恒等变换，余弦函数的值域，属于中档题．