Question

11．设从点P（a，b）分别向椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1作两条切线PA、PB，PC、PD切点分别为A，B，C，D，若AB⊥CD，则$\frac{b}{a}$=±1．

Answer 1

分析 分别设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得过点A，B的切线方程为：$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1，由于都经过点P（a，b），可得：$\frac{{x}_{1}a}{4}+{y}_{1}b$=1，$\frac{{x}_{2}a}{4}+{y}_{2}b$=1．可得k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$-\frac{a}{4b}$．同理可得：k_CD=$\frac{4a}{b}$．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答 解：分别设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由于椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
则过点A，B的切线方程为：$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1，
由于都经过点P（a，b），可得：$\frac{{x}_{1}a}{4}+{y}_{1}b$=1，$\frac{{x}_{2}a}{4}+{y}_{2}b$=1．
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）a}{4}$+（y₂-y₁）b=0，∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$-\frac{a}{4b}$．
同理可得：k_CD=$\frac{4a}{b}$．
∵AB⊥CD，∴k_AB•k_CD=$-\frac{a}{4b}$$•\frac{4a}{b}$=-1，
则$\frac{b}{a}$=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的切线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．