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精英家教网如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F,G分别是棱C1D1,AA1的中点.设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的正投影.
(1)求以E为顶点,以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线FG1⊥平面FEE1
(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
分析:(1)依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1,则E1、G1分别为CC1、DD1的中点,四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界即为四边形DE1FG1,面积为SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1,由题意可证EE1为该棱锥的高,代入体积公式可求;
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别作x轴,y轴,z轴;要证直线FG1⊥平面FEE1?FG1⊥FE,FG1⊥FE1?
FG1
FE
=0,
FG1
FE1
=0
,利用空间向量的数量积可证;
(3)异面直线E1G1与EA所成角?
E1G1
EA
所成的角,利用公式cosθ=
E1G1
EA
|
EA
||
E1G1|
可求;
解答:精英家教网解:(1)依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1
则E1、G1分别为CC1、DD1的中点,
连接EE1、EG1、ED、DE1
则所求为四棱锥E-DE1FG1的体积,
其底面DE1FG1面积为SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1=
1
2
×
2
×
2
+
1
2
×1×2=2
,(3分)
又EE1⊥面DE1FG1,EE1=1,
VE-DE1FG1=
1
3
SDE1FG1•EE1=
2
3
.(6分)
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别作x轴,y轴,z轴,
得E1(0,2,1)、G1(0,0,1),又G(2,0,1),F(0,1,2),E(1,2,1),
FG1
=(0,-1,-1)
FE
=(1,1,-1)
FE1
=(0,1,-1)

FG1
FE
=0+(-1)+1=0
FG1
FE1
=0+(-1)+1=0

即FG1⊥FE,FG1⊥FE1
又FE1∩FE=F,∴FG1⊥平面FEE1.(10分)
(3)
E1G1
=(0,-2,0)
EA
=(1,-2,-1)

cos<
E1G1
EA
>=
E1G1
EA
|
E1G1
||
EA
|
=
2
6

设异面直线E1G1与EA所成角为θ,则sinθ=
1-
2
3
=
3
3
.(14分)
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理,利用空间向量的方法把求异面直线所成的角转化为向量所成的角,锥体的体积的求解,关键是确定该棱锥的高及底面.
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