Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则直线AB与平面BDA₁所成角的正弦值等于______．

Answer 1

设AC∩BD=O，AB=a，
则 BD=

2

a，A₁O=

AO2+A1A2

=

6

2

a；
过A作AH⊥平面BDA₁于点H，则∠BAH直线AB与平面BDA₁所成角；
∵VA1-ABD=VA-A1BD
∴

1

3

A₁A•S_△ABD=

1

3

•AH•S△A1BD=

1

3

•AH•

1

2

×BD×A₁O；
即

1

3

•a×

1

2

×a×a=

1

3

•AH•

1

2

×

2

a×

6

2

a
∴AH=

3

3

a，
在RT△ABH中，cos∠AHB=

AH

AB

=

3 3 a

a

=

3

3

，
∴sin∠AHB=

1-cos2∠AHB

=

6

3

．
即直线AB与平面BDA₁所成角的正弦值等于：

6

3

．
故答案为：

6

3

．