Question

已知定点A（0，1）、B（0，-1）、C（1，0），动点P满足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2（k∈R）．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；
（2）当k=2时，求|

AP

+

BP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设出P的坐标（x，y），可得向量的坐标，代入

AP

•

BP

=k|

PC

|2|中，可得（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0，分k=1与k≠1两种情况讨论，可得答案；
（2）表示出向量和的模，利用圆的参数方程设点的坐标，即可求得|

AP

+

BP

|的最大值和最小值．

解答：解：（ 1 ）  设动点P的坐标为（x，y），则

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)，
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|2，∴x²+y²-1=k[（x-1）²+y²]，即（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0 
若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）且平行于y轴的直线；
若k≠1，则方程为（x+

k

1-k

）²+y²=（

1

1-k

）²，表示以（

k

1-k

，0）为圆心，以

1

|1-k|

为半径的圆；
（ 2 ） 当k=2时，方程化为（x-2）²+y²=1，|

AP

+

BP

|=|（2x，2y）|=2

x2+y2

令x=2+cosθ，y=sinθ，则|

AP

+

BP

|=2

5+4cosθ

∴当cosθ=1时，|

AP

+

BP

|的最大值为6，当cosθ=-1时，|

AP

+

BP

|的最小值为2．

点评：本题考查直线与圆的方程的综合运用，考查向量知识的运用，考查圆的参数方程，属于中档题．