Question

某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年所需费用为12万元，从第二年起包括各种费用在内，每年所需费用均比上一年增加4万元．该船每年捕捞收入为50万元．
（1）该船几年开始获利？
（2）该船经过若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利最大时，以26万元价格卖出；②当盈利总额达到最大时，以8万元卖出．问那种方案合算？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意先设n年后盈利额为y元，利用数列的求和公式即可求得y的表达式，最后令y＞0，解得n的取值范围从而解决问题；
（2）①先求出平均盈利的函数表达式，再利用基本不等式求其最大值，从而得出盈利总额；②先求出平均盈利的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求其最大值，从而得出盈利总额；最后比较两种情况的盈利额的情况即可解决问题．

解答：解：（1）设n年后开始赢利，则n年收入为50n，n共需要费用为12+16+…+[12+4（n-1）]，由等差数列求和可得：2n²+10n．
若开始赢利，则有：50n＞2n²+10n+98，
即：n²-20n+49＜0，
解得10-

51

＜n＜10+

51

，
又因为n∈N^*，所以n=3，4，5，…，17，即从第三年开始盈利．…（5分）
（2）①设年平均盈利为u，则u=

50n-2n2-10n-98

n

=40-2(n+

49

n

)≤40-4

49

=12，
当且仅当n=

49

n

时取“=”，即n=7年时平均盈利最多，
这时共获利12×7+26=110（万元）；      …（8分）
②设盈利总额为v，则v=50n-2n²-10n-98=-2（n²-20n+49）=-2（n-10）²+102，
所以当n=10时，赢利总额最大值，这时共可获利102+8=110万元． …（11分）
比较①②可知，方案①花了7年可获利110万元，而方案②花10年可获利110万元，
所以方案①合算．           …（12分）

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．