Question

20、如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证D₁C⊥AC₁；需证D₁C⊥平面ADC₁即可
（2）确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，设AD₁∩A₁D=M，BD∩AE=N，连接MN，证明MN∥D₁E即可．

解答：解：（1）证明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接C₁D，∵DC=DD₁，
∴四边形DCC₁D₁是正方形．∴DC₁⊥D₁C．
又AD⊥DC，AD⊥DD₁，DC⊥DD₁=D，
∴AD⊥平面DCC₁D₁，D₁C?平面DCC₁D₁，
∴AD⊥D₁C．∵AD，DC₁?平面ADC₁，
且AD⊥DC=D，∴D₁C⊥平面ADC₁，
又AC₁?平面ADC₁，∴D₁C⊥AC₁．

（2）连接AD₁，连接AE，
设AD₁∩A₁D=M，BD∩AE=N，连接MN，∵平面AD₁E∩平面A₁BD=MN，
要使D₁E∥平面A₁BD，
须使MN∥D₁E，
又M是AD₁的中点．∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D₁E∥平面A₁BD．

点评：本题考查直线与平面的平行，空间中直线与平面的位置关系，是中档题．